Probabilités et discriminant

Une expérience consiste à lancer deux fois un dé tétraédrique supposé équilibré.
À partir du couple  \((a;b)\) obtenu, formé d’entiers entre  \(\text 1\) et \(\text 4\) , on écrit l’équation  \((\text E)\) d’inconnue réelle  \(x\) : \(ax^2+bx+1=0\) .

L'objectif de cette activité est de déterminer la probabilité que cette équation admette deux solutions distinctes, une solution ou aucune solution.

PARTIE A Avec un tableau à double entrée
Dans le tableau à double entrée suivant le nombre inscrit dans chaque case correspond au nombre de solutions de \((\text E)\) pour les valeurs de \(a\) et \(b\) indiquées par la ligne et la colonne correspondant, respectivement en noir et blanc. Par exemple, lorsque \(a=1\) et \(b=3\) , l'équation s'écrit  \(x^2+3x+1=0\) et admet deux solutions réelles distinctes  \(x_1=\dfrac{-3-\sqrt 5}{2}\) et      \(x_2=\dfrac{-3+\sqrt 5}{2}\) .

1. Compléter le tableau.
2. Déterminer la probabilité d'obtenir, à l'issue du lancer des deux dés tétraédriques, une équation admettant deux solutions distinctes.

PARTIE B. Avec une variable aléatoire
Le nombre de solutions de l'équation \((\text E)\) dépend de la valeur de son discriminant \(\Delta=b^2-4a\) où on a tenu compte du fait que \(c=1\) dans   \((\text E)\) .

• Lorsque \(\Delta>0\) ,   \((\text E)\) admet deux solutions distinctes.
  
• Lorsque   \(\Delta=0\) ,   \((\text E)\) admet une unique solution.
  
• Lorsque   \(\Delta<0\) ,   \((\text E)\) n'admet aucune solution réelle.
  

1. Donner toutes les valeurs que \(\Delta\) peut prendre lors de l'expérience aléatoire décrite dans cette activité, on les notera \(\delta_1, \delta_2\) etc. 
2. Calculer  \(P(\Delta=\delta_i)\) la probabilité que \(\Delta\) prenne chacune des valeurs listées précédemment.
3. Organiser les informations déterminées précédemment dans le tableau suivant.

On dit que \(\Delta\) est une variable aléatoire qui, à tout couple de naturels \((a;b)\) obtenu lors de l'expérience aléatoire, associe la valeur  \(\delta_i\) du discriminant de l'équation  \((\text E)\) .
Le tableau complété à la question 3. représente la loi de probabilité de la variable aléatoire \(\Delta\) .

PARTIE C. Calculs de probabilités
À l'aide de la loi de probabilité de la variable aléatoire \(\Delta\) , déterminer :
1. La probabilité d'obtenir, à l'issue du lancer des deux dés tétraédriques, une équation admettant deux solutions distinctes. Vérifier que ce résultat est le même que celui trouvé à la question 2 de la PARTIE A.
2. La probabilité \(P(\Delta=0)\) puis \(P(\Delta<0)\) .
3. Le nombre de solutions de \((\text E)\) le plus probable.