Probabilités et discriminant

Une expérience consiste à lancer deux fois un dé tétraédrique supposé équilibré.
À partir du couple  $(a;b)$ obtenu, formé d’entiers entre  $\text{1}$ et $\text{4}$ , on écrit l’équation  $(\text{E})$ d’inconnue réelle  $x$ : $a{x}^2+bx+1=0$ .

L'objectif de cette activité est de déterminer la probabilité que cette équation admette deux solutions distinctes, une solution ou aucune solution.

PARTIE A Avec un tableau à double entrée
Dans le tableau à double entrée suivant le nombre inscrit dans chaque case correspond au nombre de solutions de $(\text{E})$ pour les valeurs de $a$ et $b$ indiquées par la ligne et la colonne correspondant, respectivement en noir et blanc. Par exemple, lorsque $a=1$ et $b=3$ , l'équation s'écrit  $x^2+3x+1=0$ et admet deux solutions réelles distinctes  $x_1={\displaystyle \frac{-3-\sqrt{5}}{2}}$ et      $x_2={\displaystyle \frac{-3+\sqrt{5}}{2}}$ .

1. Compléter le tableau.
2. Déterminer la probabilité d'obtenir, à l'issue du lancer des deux dés tétraédriques, une équation admettant deux solutions distinctes.

PARTIE B. Avec une variable aléatoire
Le nombre de solutions de l'équation $(\text{E})$ dépend de la valeur de son discriminant $\mathrm{\Delta }=b^2-4a$ où on a tenu compte du fait que $c=1$ dans   $(\text{E})$ .

• Lorsque $\mathrm{\Delta }>0$ ,   $(\text{E})$ admet deux solutions distinctes.
  
• Lorsque   $\mathrm{\Delta }=0$ ,   $(\text{E})$ admet une unique solution.
  
• Lorsque   $\mathrm{\Delta }<0$ ,   $(\text{E})$ n'admet aucune solution réelle.
  

1. Donner toutes les valeurs que $\mathrm{\Delta }$ peut prendre lors de l'expérience aléatoire décrite dans cette activité, on les notera ${\delta }_1,{\delta }_2$ etc. 
2. Calculer  $P(\mathrm{\Delta }={\delta }_i)$ la probabilité que $\mathrm{\Delta }$ prenne chacune des valeurs listées précédemment.
3. Organiser les informations déterminées précédemment dans le tableau suivant.

On dit que $\mathrm{\Delta }$ est une variable aléatoire qui, à tout couple de naturels $(a;b)$ obtenu lors de l'expérience aléatoire, associe la valeur  ${\delta }_i$ du discriminant de l'équation  $(\text{E})$ .
Le tableau complété à la question 3. représente la loi de probabilité de la variable aléatoire $\mathrm{\Delta }$ .

PARTIE C. Calculs de probabilités
À l'aide de la loi de probabilité de la variable aléatoire $\mathrm{\Delta }$ , déterminer :
1. La probabilité d'obtenir, à l'issue du lancer des deux dés tétraédriques, une équation admettant deux solutions distinctes. Vérifier que ce résultat est le même que celui trouvé à la question 2 de la PARTIE A.
2. La probabilité $P(\mathrm{\Delta }=0)$ puis $P(\mathrm{\Delta }<0)$ .
3. Le nombre de solutions de $(\text{E})$ le plus probable.